Dans la série de fiches-outils que vous trouvez ici, nous avons d’abord appris aux élèves à lire, dire, écrire les fractions, de sorte qu’ils puissent décoder et s’exprimer, poser leurs questions et être inclus dans la séquence.

Ensuite, nous avons travaillé à construire leurs images mentales des fractions, en soignant la flexibilité mentale nécessaire, en raison du caractère relatif à une unité représentée de façon contextualisée.

En troisième étape, les élèves sont allés plus loin, en réinterrogeant ce qu’ils ont appris dans les deux premières étapes, et en introduisant l’idée explicite de fraction d’une grandeur.

À présent, il est temps de décoller vers la fraction en tant que nombre. Notre objectif, c’est le repérage : comparer, intercaler, ordonner et repérer sont des compétences qui indiqueront, si elles sont réussies, que l’élève a compris la fraction en tant que nombre. Mais c’est difficile. Alors nous allons l’aider avec une étape hybride, qui va l’aidera à s’engager sans encombre dans le repérage sur la ligne graduée. Nous allons commencer avec des carreaux, pour ne pas perdre les élèves qui raisonnent encore par les aires. Mais dès que les élèves montreront qu’ils ont compris cette étape de façon robuste, les carreaux pourront se transformer en lignes graduées. Et ceux qui auront besoin de temps continueront autant qu’il le faudra avec les carreaux.

Cette étape tient en trois sous-étapes. Elle prend plusieurs séances, mais ce qui est vraiment très important est de traiter pendant la même séance les trois pages ci-dessous. Sinon, on risque d’introduire des théorèmes en actes faux danqs l’esprit des élèves.

Je m’explique : le niveau 1 consiste à représenter la fraction sur des bandes de carreaux qui représentent, à chaque fois, l’unité. Il est important de préciser aux élèves qu’à chaque nouvelle question l’unité n’est pas la même. On traite l’exemple donc avec eux, en collectif. On peut proposer d’autres fractions à colorier au tableau sur la même bande, en prenant toujours des dénominateurs 12. Puis on peut traiter la première question (le 3/8) en collectif aussi, en insistant bien sur la nouvelle unité (elle est représentée par 8 carreaux), et le fait que ça tombe drôlement bien, la fraction a cette fois un dénominateur de 8, car sinon nous aurions rencontré un problème.

Et ensuite zou, c’est aux élèves.

Deuxième phase : même chose, sauf que cette fois nous le rencontrons, ce problème. La bande de carreaux n’a plus un nombre de carreaux égal au dénominateur de la fraction demandée. Ah, zut de flûte, comment faire ?

Premier point de vigilance : faire comprendre le problème aux élèves, et pourquoi la méthode utilisée précédemment ne fonctionne plus. En fait, ce que cela signifie, c’est qu’il ne s’agit pas de se dire « fastoche, je colorie le nombre de carreaux qui correspond au dénominateur de la fraction que l’on me soumet ». Si cela fonctionnait avant, c’est qu’on était dans une configuration favorable, simplifiée, mais il faut que nous généralisions la méthode sans réduire le cas particulier précédent lui-même à une généralité.

Pour débuter, nous allons nous concentrer seulement sur des demis et des quarts. Pourquoi ? Parce que c’est facile en pliant, parce que les moitiés sont travaillées depuis le CP, parce qu’un quart est la moitié de la moitié. Autrement, dit, on ajoute le moins de contraintes de calcul possible et on se concentre sur le sens.

Si les élèves sont en difficulté, on peut leur donner des bandes découpées pour qu’ils plient en moitiés (en n’oubliant pas de préciser qu’on cherche toujours des parties égales), puis en moitié de moitié. La page « milieu » du compas dans l’oeil de Rubricamaths peut aider à apprendre à viser la moitié, et faire le lien avec le milieu d’un segment (imaginaire).

À chaque proposition de « découpage », on compte les carreaux et on vérifie que chaque part en comporte autant. On verbalise à fond : « ces 6 carreaux représentent la moitié de l’unité », « ces 3 carreaux représentent la moitié de la moitié de l’unité, c’est-à-dire aussi le quart de l’unité », « ces 3 carreaux-là aussi », « ma bande de carreaux est bien séparée en deux moitiés », « ma bande de carreaux est bien séparée en quatre quarts », etc.

Et puis on insiste sur la réponse alternative : trois carreaux représentent un quart de l’unité, qu’ils soient adjacents ou pas, placés à gauche de la bande ou pas.

Puis à nouveau c’est aux élèves. On les prévient que d’abord on n’aura que des demis, et qu’ensuite on travaillera en plus les quarts. Mais notre objectif, une autre fois, c’est d’appliquer cela à d’autres dénominateurs que 2 ou 4.

Il est donc vraiment crucial de traiter pendant la même séance les exemples et au moins quelques questions des deux étapes. Cela permet de tout de suite déconstruire le théorème en actes bien pratique mais faux que les élèves pourraient se donner : « tu colories autant de cases que le nombre au numérateur et c’est fini ». Hé non, la vie des fractions est plus complexe que cela.

En revanche, on n’est pas du tout obligé de traiter toutes les questions, ou de faire tout traiter à tous les élèves. De toutes façons il va falloir réactiver avant de passer à la suite, et sans doute construire d’autres exemples pour certains élèves qui auront besoin de plus de temps et de plus de pratique que d’autres.

Pour ceux qui y seront prêts, voici la suite : des demis, des tiers, des quart, des cinquièmes et des sixièmes. On n’hésitera pas à traiter des exemples avec les élèves, et à leur suggérer des stratégies : au départ, il peut être plus simple pour exu de traiter d’abord les demis, puis les quarts, puis les tiers, puis les sixièmes, puis les cinquièmes par exemple. Et une autre fois on pourra redonner la fiche, ou une variation de la fiche, en demandant de traiter les questions dans l’ordre des lignes ou des colonnes, pour forcer le développement de la flexibilité mentale.

Quand on voudra après avoir traité au moins quelques questions de niveau 3, on pourra se lancer dans la partie 2, où il s’agit de procéder réciproquement : une partie de la bande de carreaux est coloriée et on veut associer une fraction. Là encore, il faudra faire verbaliser toutes les étapes par les élèves, pour vérifier qu’ils savent ce qu’ils font et pourquoi, pour qu’ils puissent mettre en mots, ce qui les aidera à communiquer et à aider leurs camarades, au besoin. On pourra aussi faire remarquer qu’il y a plusieurs façons d’écrire la fraction : si on raisonne comme au début, dans l’exemple on obtient 3/12, et c’est juste. On s’engage ainsi dans la multi-représentation, donc encore plus vers le nombre.

Voilà une étape-pivot réalisée. En rituel, il serait utile de proposer des questions aux élèves, en les faisant toujours verbaliser, en rappelant la méthode suivie, ou les méthodes possibles, car ce qui se joue est important et difficile.

L’étape 5 jouera le rôle d’intermède, avant d’y revenir par pliage de bandes de papier dans l’étape 6.