En cette fin de semaine de mai 2026, c’est le salon des jeux et de la culture mathématiques, à Paris, place Saint Sulpice. J’y ai participé, hier au travers de la coanimation d’une conférence de François Abélanet sur les anamorphoses au sein d’un enseignement scolaire des mathématiques, et aujourd’hui j’ai tenu, avec les cop(a)in(e)s, le stand de l’APMEP. Et puis j’ai eu la joie de croiser des personnes que j’aime vraiment beaucoup et que je vois peu, mais c’est une autre histoire.

En tous cas, alors que j’étais partie en vadrouille dans le salon, un « monsieur physicien » (c’est ainsi qu’il me fut décrit) est passé au stand. Il a posé une question aux collègues. En effet, il avait lu une publication liée aux journées de Toulon, dans laquelle ce petit encart l’avait attiré :

Alors déjà, je trouve ça très chouette. Voilà qui consolide l’envie de semer des énigmes partout. Ensuite, le « monsieur physicien » avait trouvé la ligne 15, mais il voulait savoir si une telle suite de nombres avait un nom, une dénomination identifiée.

Les collègues ne savaient pas et n’avaient guère le temps de se mettre à chercher, monopolisés par des enfants avides de jeux mathématiques (si si, vraiment). Mais quand je suis revenue, une des collègues m’a attrapée, l’œil malicieux, et m’a mis le problème dans les mains.

Alors j’ai commencé par faire mes essais besogneux. Rapidement, il a été clair que je n’arriverai pas à la ligne 15 : d’une part ma feuille était trop petite, d’autre part je n’en avais aucune envie. Je voulais extraire un modèle. Mais j’étais parasitée par deux évocations, au travers de mes essais : le triangle de Pascal et la suite de Fibonacci. Sauf que je ne savais pas trop quoi en faire.

La question de la ligne 15 m’a amenée à chercher une modélisation, qui finalement était assez aisée : il se dégage facilement que u(2n) = u(n). Et u(2n+1) ? Comme c’est le résultat de la somme des deux termes qui l’encadrent, et qui étaient présents à l’étape précédente, on a u(2n+1) = u(n)+u(n+1).

La question de la ligne 15 était donc réglée. Pas celle du « monsieur physicien ». Alors sur mon téléphone j’ai tapé dans mon moteur de recherche ces deux relations. Et paf : il s’agit de la suite diatomique de Stern.

J’ai ainsi appris que c’est le mathématicien Moritz Stern qui l’a baptisée en 1858.

Par la suite, Edsger W. Dijkstra a décidé de la noter fusc en 1976 (on ignore pourquoi), ce qui donne :

• fusc(0)=0,

• fusc(1)=1

• fusc(2n)=fusc(n)

• fusc(2n+1)=fusc(n)+fusc(n+1)

Mais on dispose aussi d’une expression explicite :

Un définition par récurrence double, proche de celle de la suite de Fibonacci, est, avec la même initialisation :

fusc(n+2)=fusc(n+1)+fusc(n)-2[fusc(n) mod fusc(n+1)],

où a mod b est le reste de la division euclidienne de a par b.

J’aimerais bien réfléchir à cette expression, aussi.

Je retrouvais Fibonacci, j’étais satisfaite. Mais la suite diatomique de Stern présente d’autres très jolies propriétés : la somme des termes de chaque ligne est une puissance de 3, les maximums de chaque ligne constituent la suite de Fibonacci, si on omet le 1 initial, chaque ligne est un palindrome, chaque colonne forme une suite arithmétique. De plus, la suite formée des raisons de cette suite arithmétique est la suite de Stern elle-même, ce qui se traduit par ceci : la suite de Stern dispose d’une structure fractale. Et puis ma collègue avait envie de considérer des obliques traversant les lignes, et elle avait raison. On peut creuser la question dans cet article de Pour la science, écrit par Jean-Paul Delahaye.

Évidemment, il existe bien d’autres propriétés, plus techniques.

Avec le recul, je me suis dit que j’aurais pu utiliser l’IA. Mais je n’aurais pas eu le même plaisir à trouver, et pas le plaisir du tout de chercher. En revanche, c’était pratique de pouvoir identifier la suite modélisée aussi rapidement : nous avions la réponse du « monsieur physicien ». La collègue qui avait échangé avec lui l’a cherché partout dans le salon, en vain. Nous n’avons pas pu lui dire que nous planchions sur sa question, ni que nous avions la réponse. Snif.

Mais quand même, je me suis bien amusée.