Lors d’un passage à Lyon, j’ai pu suivre une conférence dont le titre intégral est : « Rôle des intuitions des élèves dans la salle de classe et impacts dans les apprentissages et la résolution de problèmes ». Cette intervention était animée par Hippolyte Gros, maître de conférence en psychologie au sein du centre de recherches en psychologie et neurosciences à Aix-Marseille (CNRS).

Monsieur Gros visait d’illustrer que de nombreux mécanismes interfèrent dans les apprentissages en mathématiques, comme dans le champ des émotions et de la cognition. Si vous aimez déconstruire, vous êtes bien tombés.

Les mathématiques semblent un domaine où les choses sont claires, peu ancrées dans la pratique et univoques. Mais la question épistémologique qui agite de nombreux mathématiciens (et mathématiciennes… 😉 ), à savoir « les maths sont-elles un produit de la réflexion humaine, ou existent-elles indépendamment de l’homme », irrigue aussi la psychologie pour réfléchir à l’exercice des mathématiques.

Deux cadres conceptuels sont invoqués : celui de Fishbein (1989, 1994) et celui de Lakoff et Nunez.

Des conceptions intuitives en mathématiques

L’exemple de la soustraction

Lorsqu’un élève arrive dans nos classes, il a des préconceptions, des « théories naïves », qu’il est pertinent d’identifier pour pouvoir construire. Elles se démarquent par leur prévalence (elles existent chez tout le monde), robustes (même après des années d’enseignement leurs traces demeurent), et leur impact. Elles sont généralement utiles (elles favorisent parfois l’entrée dans une notion), parfois nécessaires (elles permettent d’esquiver trop d’abstraction au départ) et souvent limitantes (elles peuvent amener à faire des erreurs.

À la première question, les réponses ont surtout porté sur l’état final :

Hippolyte Gros nous a suggéré alors de proposer un énoncé de soustraction dont la solution est 8-3=5, mais qui décrirait un gain uniquement. Les réponses sont arrivées bien plus lentement qu’avec la consigne précédente, et moins de participants ont répondu. Certaines propositions ne conviennent pas, dans de plus grandes proportions qu’avec la première tâche, et demeurent dans des situations de retrait. Cela s’explique par le fait qu’il nous a fallu combattre nos conceptions préexistantes : nous avons tellement l’habitude que la soustraction soit associée à des pertes qu’il est difficile de proposer un énoncé en lien avec des gains :

Un exemple d’énoncé qui fonctionne est :

Il y a 8 oiseaux sur une branche, il y en avait 3 tout à l’heure. Combien sont arrivés ?

Ici , la conception intuitive de la soustraction est qu’il y a une totalité, une partie qui va être ôtée, enlevée, retranchée, et on cherche ce qui reste. L’analogie avec le retrait a du bon : elle permet à l’élève de construire rapidement une représentation mentale de l’opération. La conception intuitive est nécessaire car elle peut éviter à l’élève d’être désemparé par l’abstraction de la notion de soustraction. Mais elle peut être limitante car elle a un domaine de validité limité : elle n’est pas forcément pertinente, ni utile.

Riley, Greeno et Heller ont identifié en 1983 qu’il y a une seule catégorie, sur 11, qui est située à l’intérieur du domaine de validité… Vergnaud aussi a relevé que 90% des catégories de problème avec la soustraction sont hors domaine de validité de la conception intuitive classique. On risque donc se tromper souvent, si on se fie à sa conception intuitive. Il est ainsi pertinent de s’interroger sur la façon de la dépasser.

Et l’addition ?

Voici une autre question :

Cette proposition-ci fonctionne:

Une conception naïve de l’addition, c’est qu’additionner, c’est ajouter. Soit deux parties sont données et on cherche un tout, soit un état initial est donné, ainsi qu’un accroissement, et on cherche l’état final. Les réussites des élèves sont très impactés par les énoncés :

= !

Et sur l’égalité :

Une conception intuitive de la multiplication, c’est que multiplier, c’est ajouter plusieurs fois. Et ça, c’est un problème pour comprendre que parfois multiplier amène à obtenir un nombre inférieur au nombre de départ. De même, si on se cantonne à « diviser c’est partager équitablement », on se heurtera à des difficultés comparables.

Notre expérience du monde nous amène à construire des interprétations approximatives des notions mathématiques, parfois utiles, parfois limitantes.

Quand on demande de créer un problème hors des domaines de validité, 23,4% des personnes y parviennent, et 31,3% des enseignants de mathématiques. Si on ne fait pas un travail spécifique dessus, on continuera à véhiculer des conceptions naïves, à les renforcer, et cela impactera les élèves.

Au-delà des simples notions : l’interprétation des énoncés qui les incarnent

Une des conceptions les plus répandues sur les mathématique est afférente à l’abstraction. Cela oppose l’habillage, relatif au concret, et la structure mathématique sous jacente, avec pour but de se concentrer sur la structure et d’abandonner l’habillage.

Si on s’intéresse à la cardinalité, peu importe l’ordre dans lequel on compte les éléments. Mais dans l’ordinalité, l’ordre compte. Dans certaines situations on perçoit plutpot l’un ou plutôt l’autre : si j’ai une étagère à accrocher avec un poids maximum de 18kg à respecter, peu importe l’ordre de ce que je pose dessus. Tout ce qui compte c’est le total. Mais si j’ai un train à prendre à une certaine heure et des choses à faire avant, la représentation mentale sera plus ordinale, avec une ligne mentale temporelle sur laquelle on place les différents événements. Compter des livres ou des heures, ce n’est pas la même chose.

Ordinal et cardinal

La plupart des gens résolvent le premier problème avec 3 opérations et le deuxième avec une opération, alors que c’est la même situation en termes de structure. Sur le premier problème, on n’identifie pas facilement la stratégie correspondant naturellement au deuxième problème : mentalement, nous le représentons différemment et cela influe sur la technique de résolution. Mais les problèmes de durées, de hauteurs, de longueurs sont spontanément plus ordinaux, dans l’approche mentale qu’on en a.

Une conclusion

Les notions mathématiques sont généralement introduites au travers de leur conception naïve dominante, qui sont persistantes. Le raisonnement humain est profondément impacté par le contexte dans lequel il opère et les objets sur lesquels il porte. Dans la conception des dispositifs éducatifs, une prise en compte de ces in(ter)férences est donc indispensable. L’expérience vécue par les enseignants donne une expérience du monde, qui impacte leurs pratiques pédagogiques. L’identifier n’est pas facile, mais motivant.

Côté évaluation, si on se place dans le domaine de validité, on évalue les aspects procéduraux. En revanche, si on se place en dehors, on évaluer les aspects conceptuels. Il est donc utile d’utiliser les deux, mais l’usage n’est pas le même, au niveau des savoirs et des savoir-faire. Il faut en être conscient pour être efficace et évaluer ce que l’on veut vraiment évaluer.